Definizioni

Algebra Lineare

Strutture Algebriche

• Insieme: collezione di un elementi che hanno tutti una stessa caratteristica
• Funzione: dati due insiemi $A$ e $B$, si dice $f$ (funzione) una legge che associa ad ogni elemento di $A$ uno di $B$. Spiegazione approfondita delle funzioni $f:R\to R$ si legge ”$f$ definita in $R$ a valori in $R$“.

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Matrici

Matrice: una matrice è una tabella di m-righe e n-colonne, ogni singola “cella” di questa matrice si chiama entrata. Una matrice con lo stesso numeri di righe e di colonne si dice quadrata, queste tipo di matrici possono assumere varie forme:

• Triangolare diagonale: se sopra e sotto la diagonale principale ci sono tutti zero.
• Triangolare superiore: se sotto la diagonale principale ci sono tutti zero.
• Triangolare inferiore: se sopra la diagonale principale ci sono tutti zero. Una qualsiasi matrice si può dire:
• Simmetrica: se la matrice è uguale alla sua trasposta.
• Antisimmetrica: se la matrice è uguale all’opposta della sua trasposta.

Matrice trasposta: Ipotizzando una matrice A dove ogni entrata è definita come $a_{ij}$ la matrice trasposta di A la matrice trasposta di A che denotiamo con $A^T$ con le entrate definite così: $a_{ji}$ Per trasporre una matrice basta scrivere le sue righe sotto forma di colonne. Il determinante di A è uguale a determinante di $A^T$

Matrici equivalenti: 2 matrici sono uguali se ogni singola entrate è uguale in entrambe le matrici

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Operazioni tra matrici

Somma tra matrici: per sommare 2 matrici quest’ultime devono avere le stesse dimensioni Moltiplicazioni tra un numero e una matrice: il numero per la quale moltiplichiamo la matrice viene detto scalare (nell’esempio sottostante lo scalare si chiama c) Sottrazione tra matrici: per poter fare la differenza tra 2 matrici devo avere lo stesso numero di righe e di colonne in entrambe le matrici Moltiplicazioni tra matrici: date 2 matrici A e B per poter fare la moltiplicazione tra queste deve essere vera almeno una delle 2 condizioni sottostanti:

1. numero di colonne di A = numero di righe di B
2. numero di colonne di B = numero di righe di A Ogni entrata della matrice “Risultato” è il risultato di una moltiplicazione tra una riga della prima matrice e una colonna della seconda. Di seguito il calcolo dell’entrata in posizione 1,1 della matrice “Risultato”:

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Matrice identità: denotiamo la matrice identità come $I{d}_m$. Definiamo matrice identità la matrice che rende vera questa cosa:

• $I{d}_m\ast A=A$
• $A\ast I{d}_m=A$ La matrice identità è una matrice quadrata che segue questa forma:

$\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

Forma di echelon: una matrice si dice in forma di echelon se:

1. Se tutte le righe nulle sono in fondo
2. Se in ogni riga il primo elemento (detto pivot) $\ne 0$ partendo da sinistra si trova alla destra di tutti i pivot delle righe superiori e ha tutti zero sotto Forma di echelon ridotta: una matrice si dice in forma di echelon ridotta se:
3. É in forma di echelon normale
4. tutti i pivot sono uguali ad 1
5. ogni pivot è l’unico elemento non zero della sua colonna

😍Metodo di Gauss-Jordan:😍 Questo metodo viene usato per trasformare qualsiasi matrice in forma di echelon ridotta, Spiegazione di come funziona (farò riferimento a questa tecnica con la notazione G-J).

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Rango: il rango di una matrice è il numero di pivot nella sua forma di echelon ridotta, il rango della matrice A lo denotiamo con $rkA$, questo numero rispetta sempre questa condizione: - $0\le rkA\le min(m,n)$ Il rango di una matrice è massimo $rkA=min(m,n)$

Invertibilità delle matrici: una matrice si dice invertibile se il suo rango è massimo, denotiamo l’inversa della matrice $A$ con $A^{-1}$ Inversa di una matrice: Data una matrice A per trovare la sua inversa seguo questi step:

1. Controllo se il suo rango è massimo
2. Creo una nuova matrice unendo la matrice A e la matrice identità
3. Faccio Gauss-Jordan su questa matrice e ottengo una matrice di questo tipo
4. Se $D=i{d}_m$ allora $D^{\prime }=A^{-1}$
   Essendo $D=i{d}_m$ allora $D^{\prime }=B^{-1}$

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Sottomatrici: Sia $a_{ij}\in M_{n,n}(\mathbb{R})$ con $i,j\in 1,\dots ,n$. La sottomatrice $A_{ij}$ di A è una matrice ottenuta rimuovendo le i-esime e le j-esime colonne e righe.

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Minore: Il termine “minore” in algebra lineare si riferisce a una sottomatrice di una matrice più grande. Più precisamente, il minore di una matrice è il determinante di una sottomatrice ottenuta rimuovendo una o più righe e colonne dalla matrice originale.

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Determinante: è numero associato ad ogni matrice che può dirci molto sulle proprietà della matrice stessa.

Metodo di Sarrus per il calcolo del determinante nelle matrici quadrate che consiste nei seguenti passaggi:

1. Prendi la tua matrice normale
2. Riscrivi le prime 2 colonne e tracci le diagonali
3. Faccio le moltiplicazioni delle diagonali, moltiplicando tutto per + nelle diagonali principali e per - nelle diagonali secondarie

Metodo di Laplace per il calcolo del determinante : questa metodologia si basa su questa formula:

• $\det (A)={\sum }_{j=1}^n{a}_{ij}(-1{)}^{i+j}\cdot M_{ij}$
• meno generalizzata diventa: $\det A=a_{11}(-1{)}^{1+1}\left|A_{11}\right|+a_{12}(-1{)}^{1+2}\left|A_{12}\right|+\dots +a_{1m}(-1{)}^{1+m}\left|A_{1m}\right|$ Dove:
• A è la matrice $n\times n$.
• i è l’indice della riga scelta per lo sviluppo.
• $a_{ij}$ è l’elemento della matrice A alla posizione $(i,j)$.
• $M_{ij}$ è il minore ottenuto eliminando la riga i e la colonna j dalla matrice A.

Teorema di Binet: se abbiamo 2 matrici quadrate A,B $\in$ $M_{n,n}(R)$ il $det(A\ast B)=det(A)\ast det(B)$ Dimostrazione???

Teorema degli orlati: Data una matrice A $\in M_{m,n}$ e una sottomatrice quadrata di $A$ detta $B$, con dimensioni $p\ast p$ se tutte le sotto matrici di A di dimensione $(p+1)(p+1)$ ottenute orlando $B$ hanno $det=0$ allora $rkA=p=rkB$ (orlare una matrice consiste nell’aggiungere una riga o una colonna scelte arbitrariamente dalla matrice padre). Di seguito un’esempio con la seguente matrice:

1. Scegliamo una matrice con det $\ne$ 0
2. Alla matrice scelta aggiungiamo una riga ed una colonna scelte in modo casuale e ci calcoliamo il det
3. Aggiungiamo la riga 5 e la colonna 1 e calcoliamo il det
4. Continuando e provando notiamo che tutti i determinanti vengono uguali a 0 quindi il $rkA=p=rkB=2$

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• Teorema Matrici Invertibili dice che:     - a) una matrice A è invertibile $⟺\det A\ne 0$     - b) se $\det A\ne 0$ allora la matrice inversa è: $A^{-1}=\frac{1}{\det A}\cdot A_a=\frac{1}{\det A}\cdot (A_{ij}{)}^T$     - c) se $A$ è invertibile allora $\det A^{-1}=\frac{1}{\det A}$     - d) $A\ast A^{-1}=I{d}_m$

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Sistemi Lineari

Sistema Lineare: è un sistema di equazioni a più incognite (sempre di grado 1) per risolvere un sistema lineare possiamo trasformarlo in una matrice, la matrice che ne esce avrà questa forma: $A\ast X=B$ (questa è la definizione della matrice associata al sistema lineare) Per risolvere un generico sistema lineare possiamo applicare Gauss-Jordan alla matrice completa che ha questa forma: i valori rimasti nella matrice A quando arriviamo in forma di echelon ridotta rappresentano i coefficienti delle incognite, i valori rimasti nella matrice B sono i valori delle incognite. Come possiamo notare da questa immagine facciamo quanto detto prima, le soluzioni che troviamo nella forma finale sono $x_1=0,x_2=0,x_3=2$ usando questo metodo la risoluzione di un sistema lineare diventa banale. Ci sono dei casi speciali in cui si può incappare quando si risolvono i sistemi lineari come quelli di seguito:

1. Sistema impossibile: in uno dei passaggi di G-J siamo arrivati a questo punto (vedi immagine sotto), come possiamo notare le soluzioni dell’ultima riga sarebbero $x_1\ast 0+x_2\ast 0+x_3\ast 0=1$, e quindi che $0=1$ questa è chiaramente un’affermazione falsa quindi la risultato del sistema è impossibile da calcolare
2. Sistema con infinite soluzioni: Arrivati al punto di prendere le soluzioni ci siamo resi conto che $x_1$ dipende dal valore di $x_4$ e proprio quest’ultima non ha un valore definito, in questo caso si dice che le soluzioni del sistema sono infinite perché dipendono da un parametro, in questo caso $x_4$ (nelle soluzioni $x_4$ viene posto = $t$)

Teorema di Rouchè Capelli: Il sistema $A\ast X=B$ con $n$ variabili e $m$ equazioni ha soluzione se $rkA==rk(A|B)=r$ da qui si sviluppano 2 casi:

• se r == n allora il sistema lineare ammette una sola soluzione
• se r < n allora esistono infinite soluzione che dipendono da $n-r$ parametri

Sistemi lineari con parametro $\alpha$: può succedere che in un’esercizio venga inserito un parametro $\alpha$ la risoluzione non cambia da un normale sistema lineare dobbiamo solo fare attenzione a questo valore, questo implica che dobbiamo fare di tutto per evitare che $\alpha$ sia un pivot, se $\alpha$ è un pivot dobbiamo discutere le varie soluzione della matrice al variare del suo valore

Il nostro obbiettivo per continuare con G-J è quello di far diventare il pivot 1, per fare ciò dobbiamo essere sicuro che il valore di $\alpha$ sia diverso da zero, quindi vediamo quando è zero in questo modo: $2-\alpha -{\alpha }^2=0$ $=>$ $(\alpha -1)(\alpha +2)=0$ $=>$ $\alpha =1,-2$ Da questo capiamo che i casi da discutere sono 3:

1. $\alpha =1$
2. $\alpha =2$
3. $\alpha \ne 1,2$ Di seguito il continuo dell’esercizio Nell’ultimo caso si vede un’applicazione del teorema di Rouchè Capelli (si lascia al lettore il brivido della scoperta delle soluzioni di quest’ultima matrice 😉)

Sistemi omogenei: un sistema omogeneo è un sistema lineare che si basa su questo paradigma: $A\ast X=0$ e che quindi la matrice B dei termini noti è una matrice nulla (con tutti 0), la risoluzione di questo tipo di sistema lineare non differisce con un sistema lineare normale.

Teorema di Cramer: Per trovare le soluzioni di un sistema lineare del tipo $AX=B$ con $\det A\ne 0$ ovvero un sistema detto determinato (ammette una e una sola ($\exists !$) soluzione). Calcoliamo l’unica soluzione delle incognite in questo modo:

• $x_i=\frac{\det (B_i)}{\det (A)}\forall i\in \{1,2,...,n\}$ dove $n$ è il numero di incognite
  • $B_1$ si calcola sostituendo la $1^a$ colonna di $A$ con $B$.
  • $B_2$ si calcola sostituendo la $2^a$ colonna di $A$ con $B$.
  • $\dots$
  • $B_n$ si calcola sostituendo la $n^a$ colonna di $A$ con $B$. Esempio di come trovare le soluzioni di un sistema lineare usando Cramer Dimostrazione: prendo $Ax=B\iff x=A^{-1}B$ quello che devo dimostrare è che A è uguale a B se e soltanto se moltiplicata per quella x quindi seguo i seguenti passi:
• Sostituisco $A^{-1}B$ ad $x$ della prima formula e quindi diventa: $A\ast (A^{-1}B)=B$
• Sposto le parantesi: $(A\ast A^{-1})B=B$
• Per definizione di matrice inversa $A\ast A^{-1}=I{d}_m$
• Quindi l’espressione diventa $B=B$

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Spazi Vettoriali

Spazio Vettoriale: si dice spazio vettoriale un insieme su cui valgono le seguenti proprietà:

1. $V$ è un insieme non vuoto con un’operazione di somma $+$ tale che:
   • È chiuso rispetto alla somma: $u+v\in V,\forall u,v\in V$.
   • La somma è associativa: $(u+v)+w=u+(v+w),\forall u,v,w\in V$.
   • La somma è commutativa: $u+v=v+u,\forall u,v\in V$.
   • Esiste un elemento neutro $0\in V$ tale che $u+0=u,\forall u\in V$.
   • Ogni elemento $u\in V$ ha un opposto $-u\in V$ tale che $u+(-u)=0$.
2. $V$ ha un’operazione di prodotto scalare con un campo (ad esempio, i numeri reali $\mathbb{R}$):
   • È chiuso rispetto al prodotto scalare: $\forall \lambda \in \mathbb{R},u\in V,\lambda u\in V$.
   • Vale la distributività rispetto alla somma degli scalari: $(\lambda +\mu )u=\lambda u+\mu u,\forall \lambda ,\mu \in \mathbb{R},u\in V$.
   • Vale la distributività rispetto alla somma dei vettori: $\lambda (u+v)=\lambda u+\lambda v,\forall \lambda \in \mathbb{R},u,v\in V$.
   • Vale la compatibilità tra prodotto scalare e moltiplicazione scalare: $(\lambda \mu )u=\lambda (\mu u),\forall \lambda ,\mu \in \mathbb{R},u\in V$.
   • Il numero $1\in \mathbb{R}$ (scalare unitario) agisce come identità: $1u=u,\forall u\in V$. Ipotizzando un insieme $V$ sulla quale valgono tutte queste proprietà lo chiamiamo spazio vettoriale, gli elementi di $V$ si chiamano vettori.

$R^n$ = { ($x_1$, $x_2$,…, $x_n$)| $x_i\in R$}
$R^n$ è uno spazio vettoriale formato dai vettori con al massimo $n$ volte $x$, ad esempio $R^5=x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$, possiamo affermare che questo è uno spazio vettoriale perché valgono tutte le proprietà prima descritte.

Combinazione lineare: un vettore è combinazione lineare degli altri vettori dello spazio vettoriale se esistono dei ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n$ tale che $v={\lambda }_1{v}_1+{\lambda }_2{v}_2+\cdots +{\lambda }_n{v}_n$

Sottospazio: $W$ è sottospazio di $V$ se $W\subseteq V$ e se $W$ rispetta queste proprietà:

• $\forall v,w\in W,v+w\in W$
• $\forall w\in W,-w\in W$
• $0\in W$
• $\forall \lambda \in \mathbb{R},\forall w\in W⟹\lambda \cdot w\in W$ Nei sottospazi vettoriali definiamo 2 operazioni:
• Intersezione tra sottospazi: è sempre un sottospazio
• Unione tra sottospazi: è sottospazio solo se uno dei due è sottoinsieme dell’altro (ovvio)
• Somma diretta: Definiamo somma diretta la somma tra 2 sottospazi se e solo se la loro intersezione è $\{0\}$ ovvero un’insieme con solo lo 0 dentro, questo ci indica che i 2 insiemi sono completamenti diversi.

Insieme di Generatori: dato uno spazio vettoriale $V$, un insieme $(v_1,v_2,\dots ,v_n)$ è detto insieme di generatori (indicato con $G\{v_1,v_2,\dots ,v_n\}$) se preso un qualunque vettore $v\in V$ esso si può scrivere come combinazione lineare (C.L.) dei vettori di $G$.

Linearmente Indipendenti: i vettori $v_1,v_2,\dots ,v_n$ si dicono linearmente indipendenti se facendo la combinazione lineare di quest’ultimi l’unico modo per farla venire uguale a 0 è usando dei $\lambda =0$

Linearmente dipendente: i vettori $v_1,v_2,\dots ,v_n$ si dicono linearmente dipendenti se facendo la combinazione lineare di quest’ultimi per un generico $\lambda$ il risultato è uguale a $0$

Come capire se uno spazio vettoriale è linearmente indipendente

Per capire se i vettori di uno spazio vettoriale sono linearmente indipendenti creo una matrice con quest’ultimi e mi calcolo il rango:

• Se il rango è massimo allora lo spazio vettoriale è linearmente indipendente
• Se il rango non è massimo vuol dire che qualche vettore può essere scritto come combinazione lineare degli altri e quindi che è linearmente dipendente

Base di uno spazio vettoriale: un insieme  $(v_1,v_2,\dots ,v_n)$ è detto Base di $V$ se $B$ genera $V$ e soprattutto se $B$ è linearmente indipendente

• $B=\{(0,1),(1,0)\}$ è una base di $R^2$ questo perché genera $R^2$ ed è linearmente indipendente
  Una base che useremo spesso è la base di $R^n$ anche detta base standard è si presenta in questa forma:

Dimensione di uno spazio vettoriale: la dimensione di uno spazio vettoriale ci indica il numero di vettori che compongono una sua base. V spazio vettoriale, W sottospazio vettoriale di V allora $dimW\le dimV$ sempre tranne quando $W=V$

Formula di Grossmann: $V$ spazio vettoriale $U,W\subseteq V$ allora

• $dim(U+W)=dimU+dimW-dim(U\cap W)$

==Lemma di Steinitz: tutte le basi di uno spazio vettoriale hanno la stessa dimensione==

Per rappresentare la base di sottospazio abbiamo 2 metodi:

• Forma parametrica: ovvero come spazio generato da un insieme di vettori: Di seguito un’esempio:
• Forma cartesiana: come soluzione di un sistema lineare omogeneo Di seguito un’esempio:

Come passiamo da una rappresentazione ad un’altra?

• Forma cartesiana → forma parametrica
• Forma parametrica → forma cartesiana Passare da una forma all’altra è utile per le operazioni che dobbiamo andare a fare, se dobbiamo fare un’intersezione di sottospazi la forma cartesiana risulta più comoda, invece per la somma di sottospazi la parametrica è la più comoda.

Teorema del rango: Data una matrice con dimensioni $m\ast n$ possiamo definire il seguente teorema:

• $rkA+dim(ker(A))=n$
  opzionalmente si fa riferimento alla dimensione del $ker(A)$ indicandolo con $null(A)$ di conseguenza la formula diventa:
• $rkA+null(A)=n$

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Applicazioni Lineari

• Applicazione Lineare: corrispondenza (funzione) tra due K-spazi vettoriali.

• Immagine ($\text{im}f$): insieme del codominio formato dai vettori immagine dei vettori del dominio.     - L’immagine è sottospazio del codominio, si dimostra (4*. L13) provando che è chiusa rispetto alla somma e al prodotto esterno.     - Studio         - $\dim imf=\rho$         - Base: vettori L.I. di V (gli stessi che formano il rango)         - Equazione Cartesiana: metodo matrice Z (si mettono in riga i vettori base, nell’ultima riga le incognite, si calcola il determinante)

• Nucleo ($\ker f$): insieme del dominio formato dai vettori che hanno come immagine il vettore nullo.     - Il nucleo è sottospazio del dominio, si dimostra (5*, L14) provando che è chiusa rispetto alla somma e al prodotto esterno esterno.     - Studio         - $\dim \ker f=\dim V-\dim imf$         - Base: $A\cdot X=0$         - Equazioni Cartesiane: ricavate dal sistema precedente (o metodo matrice Z)

• Iniettività: una funzione si dice iniettiva se presi due qualsiasi vettori del dominio diversi allora ne deve seguire che le loro immagini siano diverse.

• Suriettività: una funzione si dice suriettiva se ogni vettore del codominio è raggiunto da almeno un vettore del dominio.

• Teorema sul Nucleo e Iniettività: afferma che $f$ è iniettiva $⟺\ker f=\{0\}$     - Dimostrazione (6*, L14)

• Applicazione Identica: applicazione lineare cui legge corrisponde a $i(\vec{z})=\vec{z}$

• Applicazione Inversa: Date due applicazioni lineari $f:V\to W$ e $g:W\to V$ se $g\circ f=i_v$ e $f\circ g=i_w$ allora $f$ è invertibile e $g$ è detta applicazione inversa di $f(g=f^{-1})$.     - $f$ e $g$ devono essere suriettive e iniettive.  ---

Endomorfismi

• Endomorfismo: applicazione lineare dove dominio $=$ codominio.
• Isomorfismo: un’applicazione lineare biettiva (iniettiva e suriettiva), quindi necessariamente endomorfismo.
• Autovalore: dato un endomorfismo $f:V\to V$, $\lambda$ si dice autovalore se esiste un vettore $v\in V$ con $v\ne 0$ tale che $f(v)=\lambda v$. $\lambda \text{autovalore}⟺\exists v\in V,v\ne 0|f(v)=\lambda v$
• Autovettore: dato un endomorfismo $f:V\to V$, $v\in V$, $v\ne 0$ si dice autovettore se esiste un $\lambda \in K$ tale che $f(v)=\lambda v$. $v\in V,v\ne 0\text{autovettore}⟺\exists \lambda \in K|f(v)=\lambda v$
• Autospazio: dato un endomorfismo $f:V\to V$, si dice autospazio $V_{\lambda }$ il sottospazio di V definito nel modo seguente: $V_{\lambda }=\{v\in V|f(v)=\lambda v\}\subseteq V$
• Polinomio Caratteristico: data una matrice $A$ il $P.C.=\det (A-T\cdot I)$.
• Molteplicità Algebrica: per molteplicità algebrica di $\lambda$ si intende il numero di volte in cui $\lambda$ è soluzione del polinomio caratteristico.
• Molteplicità Geometrica: per molteplicità geometrica di $\lambda$ si intende la dimensione dell’autospazio $V_{\lambda }$.
• Endomorfismo Associato all’Autovalore: indichiamo con $f_{\lambda }$ l’endomorfismo associato all’autovalore $\lambda$. $f_{\lambda }(v)=f(v)-\lambda v$
• Teorema sulle Molteplicità: dato un endomorfismo $f:V\to W$ e un autovalore $\lambda \in K$ allora $0<g_{\lambda }\le m_{\lambda }$.
• Endomorfismo Semplice: un endomorfismo si dice semplice se esiste una base formata interamente da autovettori.
• Matrici simili: due matrici $A$ e $B$ si dicono simili se  $\exists P\in {\mathbb{K}}^{n,n}|P^{-1}AP=B$.
• Teorema sulla diagonalizzazione: una matrice $A\in {\mathbb{K}}^{n,n}$ è diagonalizzabile $⟺$ $f_A:{\mathbb{K}}^n\to {\mathbb{K}}^n$ è semplice oppure se è simile a una matrice diagonale.     - Matrice Diagonalizzata: matrice che ha sulla diagonale principale le molteplicità algebriche degli autovalori.     - Matrice Diagonalizzante: matrice che ha in colonna una base degli autovettori.
• Teorema Autospazio: sia $V$ un K-spazio vettoriale e $f:V\to W$ un endormofismo. Allora ne segue che $V_{\lambda }=\ker f_{\lambda }$.     - Dimostrazione (7*, L19): si usa la definizione dell’autospazio.  ---

Geometria

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